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Cours du mardi · Terminale, spécialité maths

Orthogonalité et distances dans l'espace

Salut Inès ! Super séance mardi : tu as compris que la 3D, ce n'est que le plan « en plus grand ». Commence par les exercices. Le cours est là si tu bloques.

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Le produit scalaire dans l'espace

Afficher le cours : produit scalaire, coordonnées, vecteurs orthogonaux
Ce qu'on a vu

Deux vecteurs tiennent toujours dans un même plan. Donc tout ce que tu sais du produit scalaire en 1re reste vrai dans l'espace !

Dans un repère orthonormé, pour u (x ; y ; z) et v (x' ; y' ; z') :
  • u · v = xx' + yy' + zz'
  • u et v orthogonaux ⇔ u · v = 0
L'exemple de la séance

ABCDEFGH est un cube d'arête 3. Calculer AC · AG.

Fais glisser la figure pour la tourner.

  1. Avec le projeté : C est le projeté orthogonal de G sur (AC), donc
  2. AC · AG = AC · AC = AC²
  3. AC² = 3² + 3² = 18
  4. Avec les coordonnées, dans un repère orthonormé d'origine A où chaque arête mesure 3 :
  5. AC (3 ; 3 ; 0) et AG (3 ; 3 ; 3)
  6. AC · AG = 3×3 + 3×3 + 0×3
  7. Donc AC · AG = 18, et les deux méthodes sont d'accord.

À éviter, ton erreur de mardi : oublier le produit des z. Dans l'espace, il y a trois termes.

Exercice 1 Dans un repère orthonormé de la salle, ta passe suit le vecteur u (2 ; −1 ; 3) et celle de ta coéquipière suit v (1 ; 4 ; 2).
Calcule u · v.
Multiplie les x, puis les y, puis les z, et additionne les trois résultats. Attention au −1.
  1. Formule dans un repère orthonormé :
  2. u · v = xx' + yy' + zz'
  3. u · v = 2×1 + (−1)×4 + 3×2
  4. u · v = 2 − 4 + 6
  5. Donc u · v = 4.
Exercice 2 Dans un repère orthonormé, on donne u (3 ; a ; −2) et v (2 ; 4 ; 1).
Pour quelle valeur de a ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Écris u · v = 0 : tu obtiens une équation d'inconnue a.
  1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
  2. u · v = 3×2 + a×4 + (−2)×1
  3. u · v = 6 + 4a − 2 = 4 + 4a
  4. 4 + 4a = 0
  5. 4a = −4
  6. Donc a = −1.
2

Droites, plans et vecteur normal

Afficher le cours : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, vecteur normal
Orthogonales ou perpendiculaires ?
  • Orthogonales : leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles peuvent ne jamais se toucher.
  • Perpendiculaires : orthogonales et sécantes.
Droite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul qui dirige une droite orthogonale à ce plan. Pour le vérifier : il doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

L'exemple de la séance

Dans le cube : montrer que (BF) et (AC) sont orthogonales.

  1. (BF) ⊥ (BA) et (BF) ⊥ (BC), car les faces sont des carrés.
  2. (BA) et (BC) sont deux droites sécantes du plan (ABC).
  3. Donc (BF) est orthogonale au plan (ABC).
  4. Or (AC) est une droite de ce plan.
  5. Donc (BF) et (AC) sont orthogonales, mais pas perpendiculaires : elles ne se coupent pas.
Exercice 3 Le gymnase est un pavé droit ABCDEFGH (le sol est ABCD, et E est au-dessus de A).
Les droites (AE) et (BC) sont :
  1. parallèles
  2. sécantes, mais pas perpendiculaires
  3. perpendiculaires
  4. orthogonales, mais pas perpendiculaires
Demande-toi d'abord si elles se coupent. Puis fais glisser (BC) par la pensée jusqu'à A : quel angle obtiens-tu avec (AE) ?
  1. (AE) est verticale et (AD) est au sol, donc (AE) ⊥ (AD).
  2. (BC) est parallèle à (AD).
  3. Donc (AE) est orthogonale à (BC).
  4. (AE) et (BC) n'ont aucun point commun.
  5. Donc elles sont orthogonales, mais pas perpendiculaires.
Exercice 4 Dans un repère orthonormé, un plan est dirigé par u (1 ; 2 ; 0) et v (0 ; 1 ; 1).
Lequel de ces vecteurs est normal à ce plan ?
  1. n (0 ; 0 ; 1)
  2. n (2 ; −1 ; 1)
  3. n (1 ; 2 ; 0)
  4. n (2 ; −1 ; −1)
Pour chaque vecteur, calcule le produit scalaire avec u puis avec v. Il faut trouver 0 les deux fois.
  1. Un vecteur normal est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Testons n (2 ; −1 ; 1) :
  2. n · u = 2×1 + (−1)×2 + 1×0 = 0
  3. n · v = 2×0 + (−1)×1 + 1×1 = 0
  4. Donc n (2 ; −1 ; 1) est normal au plan.

Mi-parcours : c'est exactement la distinction « orthogonales / perpendiculaires » que tu as réussi à la fin de la séance. Bien joué !

3

Projeté orthogonal et distances

Afficher le cours : distance entre deux points, projeté orthogonal, distance à un plan
Les formules
  • AB² = (xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²
  • Le projeté orthogonal H de M sur un plan : H est dans le plan, et (MH) est orthogonale au plan.
  • H est le point du plan le plus proche de M. La distance de M au plan, c'est MH.
L'image de la séance

Le ballon est en l'air, le soleil est juste au-dessus : son ombre sur le terrain, c'est le projeté orthogonal ! Prenons M(2 ; 1 ; 3) et le sol pour plan.

  1. Pourquoi H est le plus proche ? Pour un autre point P du plan, le triangle MHP est rectangle en H :
  2. MP² = MH² + HP²
  3. Comme HP² > 0, on a MP² > MH².
  4. Donc MP > MH : aucun autre point du plan n'est plus proche.
Exercice 5 Dans un repère orthonormé (unité : le mètre), tu lances le ballon du point A(1 ; 2 ; −1) vers le point B(3 ; −2 ; 3).
Calcule la distance AB.
Commence par les trois différences de coordonnées. Puis mets-les au carré : un carré est toujours positif.
  1. Formule dans un repère orthonormé :
  2. AB² = (3 − 1)² + (−2 − 2)² + (3 − (−1))²
  3. AB² = 2² + (−4)² + 4²
  4. AB² = 4 + 16 + 16 = 36
  5. AB = √36
  6. Donc AB = 6 m.
Exercice 6 Dans le gymnase, le pavé droit ABCDEFGH (le sol est ABCD, et E est au-dessus de A).
Quel est le projeté orthogonal du point G sur le plan (ABF) ?
  1. le point F
  2. le point B
  3. le point C
  4. le point E
Le plan (ABF) est un mur du gymnase. Depuis G, va tout droit vers ce mur : tu suis une arête.
  1. Le plan (ABF) contient la face ABFE.
  2. F appartient à ce plan.
  3. (GF) est orthogonale à (FB) et à (FE), car les faces sont des rectangles.
  4. (FB) et (FE) sont sécantes dans le plan (ABF), donc (GF) est orthogonale à ce plan.
  5. Donc le projeté orthogonal de G sur (ABF) est F.
Exercice 7 Dans un repère orthonormé, le ballon est au point M(3 ; 3 ; 5). Un plan 𝒫 contient les points H(1 ; 2 ; 3) et K(0 ; 4 ; 3).
On admet que H est le projeté orthogonal de M sur 𝒫.
Quelle est la distance du point M au plan 𝒫 ?
Un seul de ces deux points donne la distance au plan : celui qui est le plus proche de M, c'est-à-dire le projeté.
  1. La distance de M au plan est la distance entre M et son projeté orthogonal H :
  2. MH² = (1 − 3)² + (2 − 3)² + (3 − 5)²
  3. MH² = 4 + 1 + 4 = 9
  4. MH = 3
  5. Vérification avec K : MK² = 9 + 1 + 4 = 14, donc MK ≈ 3,74. C'est plus grand, comme prévu.
  6. Donc la distance de M au plan 𝒫 est 3.
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